使用しているレンタル・サーバでOpenPNE2.x系は問題なく動いていたのだが、テストのため3.x系の新規インストールをしたところ、キャッシュを作成できないとか、エラーばっかり吐いて動かない。
最初はパーミッションやファイル所有者のせいかと思ったが、それは現象であって、原因ではない。
サーバがセイフモードで動いているせいであった。

XOOPSなんかは本体がセイフモードで動かないということはない（問題の発生するモジュールもある）のだが、OpenPNE3.x系はぜんぜんダメなようだ。
しょうがないのでCGIモードで動かすことにして、公開ディレクトリ（デフォルトはweb）の.htaccessに以下を記述。

AddHandler application/x-httpd-phpcgi .php
mod_gzip_on Off

動作は悪くなるだろうが、テスト用なのでいいか。

参考サイト:
www.allas-one.com/blog/2009/12/22/openpne3%EF%BC%883-0-1%EF%BC%89%E3%82%92coreserver-jp%E3%81%AB%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%97%E3%81%A6%E3%81%BF%E3%81%9F/
www.allas-one.com/blog/2010/01/24/coreserver%E3%81%A7%E3%81%AE%E3%82%BB%E3%83%BC%E3%83%95%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%89%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E3%82%A8%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%BC%E3%82%B8/

セーフモード対策（XREA ・ CORESERVER）

なお

セーフモードは PHP 5.3.0 で非推奨となり、PHP 6.0.0 で削除されます。

なそうなので、早くそうなってほしい。
php.net/manual/ja/features.safe-mode.php